9-10 классы 2021

Задания


1. Докажите, что в квадрате со стороной 100 можно разместить 2501 круг радиуса 1 так, что ни один из этих кругов ни с каким другим не имеет ни одной общей точки.

2. Никакие две стороны выпуклого многоугольника не параллельны. Для каждой его стороны рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от содержащей эту сторону прямой.
Докажите, что сумма величин таких углов равна 180 градусам.

3. Докажите, что если красные пары вершин двух квадратов лежат на окружности, то вершина A жёлтого квадрата — центр этой окружности.

4. Вокруг изображённого на рисунке пятиклеточного уголка описан прямоугольник. Во сколько раз одна его сторона длиннее другой?

5. Площадь вписанного в параллелограмм четырёхугольника равна половине площади параллелограмма тогда и только тогда, когда хотя бы одна диагональ этого четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма. Докажите это.

6.  Докажите равенство

\[ sin(10°) \cdot sin(16°) \cdot sin(24°) = sin(2°) \cdot sin(34°) \cdot sin (94°) \]

(Произведение синусов 10, 16 и 24 градусов равно произведению синусов 2, 34 и 94 градусов.)

7. Синяя и жёлтая окружности проходят через центры друг друга.
Центр маленькой окружности — точка ​\( K \)​ пересечения синей и жёлтой окружностей.
Центр синей окружности — точка ​\( N \)​.

Докажите, что
А) точки ​\( K \)​, ​\( L \)​, ​\( M \)​ и ​\( N \)​ лежат на одной окружности;
Б) прямая ​\( ML \)​ проходит через пересечение жёлтой и маленькой окружностей.

8. Для любых ли шести отрезков, сумма длин любых двух из которых больше длины любого из остальных, существует тетраэдр с такими рёбрами?

9. Из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами длины 13 (то есть из половины квадрата со стороной 13) легко вырезать 15 равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами длины 2, ориентированных, как показано на рисунке.
Сумейте вырезать из него не 15, а 19 таким же образом ориентированных треугольников с катетами длины 2.

10.
А)
Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на три конгруэнтные части.
Б) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую ровно одну ось симметрии.
В) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую две оси симметрии.

11. Через точки касания вписанной окружности треугольника ​\( ABC \) ​со сторонами \( AB \) и ​\( BC \) провели прямую. Точку её пересечения с биссектрисой угла ​\( BAC \) обозначили буквой ​\( D \)​.
Докажите, что угол ​\( ADC \) прямой.