9-10 классы 2019-2020

Задания


1. Верно ли, что среди всех сечений
а) тетраэдра;
б) произвольного выпуклого многогранника
наибольшую площадь имеет одно из тех, что проходят через три его вершины?

2. Любые ли два треугольника можно расположить в пространстве, чтобы существовал трёхгранный угол, сечениями которого они являются?

3.На прямой даны 28 отрезков. Докажите, что если среди них нельзя выбрать четыре не пересекающих друг друга отрезка, то некоторая точка прямой принадлежит не менее чем десяти из этих отрезков.

4.На бесконечном во все стороны листе клетчатой бумаги \( n \) клеток чёрные, а остальные белые. Для каждой клетки посчитаем, сколько среди четырёх соседних с ней по стороне клеток чёрных, а сколько белых. Если чёрных клеток три или больше, то на следующий день рассматриваемая клетка станет чёрной, а если белых 3 или больше, то белой. (Другими словами, цвет клетки определяем по тому, как окрашено большинство из пяти клеток ㅡ её самой и соседних по стороне).
Докажите, что
а) завтра будет меньше чем ​\( 5n/3 \)​ чёрных клеток;
б) для любого числа ​\( k<5/3 \)​ существуют такие ​\( n \)​ чёрных клеток, что на следующий день количество чёрных клеток больше числа ​\( kn \)​;
в) существуют такие ​\( n \)​ чёрных клеток, что рано или поздно количество чёрных клеток станет больше числа ​\( 1.99n \)​;
г) никогда количество чёрных клеток не окажется больше ​\( 3n \)​;
д) для любого числа ​\( K<3 \)​ существуют такие n чёрных клеток, что рано или поздно количество чёрных клеток станет больше числа ​\( Kn \)​;
е) рано или поздно цвета клеток перестанут меняться: у каждой чёрной клетки будет хотя бы две чёрные соседки, а у каждой белой хотя бы две белые;
ё) Для каждой конфигурации чёрных клеток посчитаем, сколько отрезков длины 1 являются границами между белыми и чёрными клетками. Может ли так быть, что завтра таких отрезков станет больше, чем сегодня?
ж) Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения не для плоскости, а для пространства (роль клеток будут играть единичные кубики);
з) 
Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения для четырёхмерного пространства.

5. Найдите
а) директрисы гиперболы, заданной уравнением ​\( y=x+\frac1x \)
б) фокусы гиперболы, заданной уравнением \( y=x-\frac1x \)

6. Если окружность с центром на стороне ​\( AD \)​ вписанного четырёхугольника ​\( ABCD \)​ касается сторон ​\( AB, BC \) ​и ​\( CD \)​, то ​\( AB + CD = AD \)​.
Докажите это.

7. Нарисуйте хотя бы одну замкнутую гладкую кривую, у которой
а) 5 внешних и 2 внутренних двойных касательных, 2 точки перегиба и 2 точки самопересечения;
б) 8 внешних и 4 внутренних двойных касательных, 2 точки перегиба и 3 точки самопересечения.

8. Сколько точек с целыми координатами расположены
а) на границе;
б) внутри тетраэдра с вершинами ​\( (n;n;2n),  (0;0;n),(n;0;0), (0;n;n) \)​, где ​\( n \)​ ― натуральное число?



Информационные источники

задание № 3https://www.youtube.com/playlist?list=PL1JJ1jVZ9z5CoeJOU8Xdk2jmZPLHaczTH

задание № 4https://www.mccme.ru/free-books/57/shen.pdf

задание № 5https://www.youtube.com/playlist?list=PL1JJ1jVZ9z5CQOWvXvQyQ5_RSm_aRaFVK

задание № 7https://www.youtube.com/playlist?list=PL1JJ1jVZ9z5ABdS-_FkhUhy1JhTC0FlSt

задание № 8https://www.youtube.com/playlist?list=PL1JJ1jVZ9z5AREwUWK6asnHxYgc8os0Az