7-8 классы 2021

Задания


1. Докажите, что в квадрате со стороной 100 можно разместить 2501 круг радиуса 1 так, что ни один из этих кругов ни с каким другим не имеет ни одной общей точки.

2.  Из центра \( I \) вписанной окружности треугольника \( ABC \) провели лучи в его вершины. Докажите, что углы \( AIB \), \( AIC \) и \( BIC \) тупые.

3. На рисунке вершины графа помечены двузначными числами.

Пометьте этими же числами вершины остальных графов так, чтобы любые два числа, которые соединены ребром, были соединены и в них (а не соединённые не были бы соединены).

А Б
В Г
Д Е

4. Вокруг изображённого на рисунке пятиклеточного уголка описан прямоугольник.
Во сколько раз одна его сторона длиннее другой?

5. Площадь вписанного в параллелограмм четырёхугольника равна половине площади параллелограмма тогда и только тогда, когда хотя бы одна диагональ этого четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма.
Докажите это.

6. Каждое число представляет высоту здания.
Числа вне сетки показывают количества зданий, которые можно видеть в соответствующем направлении. Более низкие здания не видны за более высокими.
А) Впишите в ячейки числа от 1 до 5 так, чтобы каждое число встречалось по одному разу в каждом ряду и каждом столбце.

Б) Впишите в ячейки числа от 1 до 6 так, чтобы каждое число встречалось по одному разу в каждом ряду и каждом столбце.

7. На отрезке отмечены две точки: синяя и красная.
Если разрезать отрезок в красной точке, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если же разрезать отрезок в синей точке, то одна из частей будет на 50 см длиннее другой.
Найдите расстояние между красной и синей точками.

8. Для любых ли шести отрезков, сумма длин любых двух из которых больше длины любого из остальных, существует тетраэдр с такими рёбрами?

9. Из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами длины 13 (то есть из половины квадрата со стороной 13) легко вырезать 15 равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами длины 2, ориентированных, как показано на рисунке.
Сумейте вырезать из него не 15, а 19 таким же образом ориентированных треугольников с катетами длины 2.

10.
А) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на три конгруэнтные части.
Б) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую ровно одну ось симметрии.
В) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую две оси симметрии.

11. Через точки касания вписанной окружности треугольника ​\( ABC \) со сторонами ​\( AB \) и ​\( BC \) провели прямую. Точку её пересечения с биссектрисой угла ​\( BAC \) обозначили буквой ​\( D \)​. Докажите, что угол ​\( ADC \) прямой.