5-6 классы 2021

Задания


1. Нарисуйте все способы отметить красным цветом четыре ребра куба так, чтобы после их удаления возник гамильтонов цикл (то есть из каждой вершины должны выходить два неудалённых ребра, причём из любой вершины в любую другую можно пройти по неудалённым рёбрам).
На рисунке показан один из способов.
Ни вращать, ни отражать относительно плоскости куб нельзя, то есть отличающиеся симметрией варианты считаем разными.

2. На рисунке вершины одного графа обозначены буквами. Обозначьте теми же буквами вершины второго графа так, чтобы любые две соединённые ребром буквы одного графа были соединены и в другом (а не соединённые в одном не были бы соединены и в другом).

А Б

3. На рисунке вершины графа помечены двузначными числами.

Пометьте этими же числами вершины остальных графов так, чтобы любые два числа, которые соединены ребром, были соединены и в них (а не соединённые не были бы соединены).

А Б
В Г

4. Закрасьте несколько клеток в квадрате ​\( 8×8 \)​ так, чтобы образовались прямоугольники. Длины всех сторон прямоугольников должны быть не меньше 2.
Числа вне квадрата показывают количества закрашенных клеток в соответствующем столбце или горизонтальном ряде.

5.
A) Поставьте хотя бы одним способом ладьи в некоторые непомеченные клетки так, чтобы ладьи не били друг друга и все непомеченные клетки были под боем. Каждое из чисел  показывает количество ладей в клетках, имеющих хотя бы одну общую точку с клеткой, в которой оно написано.
Через отмеченные клетки ладьи не бьют.
Б) Выясните, какие числа могут стоять на месте вопросительного знака.

6.  Каждое число представляет высоту здания. Числа вне сетки показывают количества зданий, которые можно видеть в соответствующем направлении. Более низкие здания не видны за более высокими.
A) Впишите в ячейки числа от 1 до 5 так, чтобы каждое число встречалось по одному разу в каждом ряду и каждом столбце.

Б) Впишите в ячейки числа от 1 до 6 так, чтобы каждое число встречалось по одному разу в каждом ряду и каждом столбце.

7.  На отрезке отмечены две точки: синяя и красная.
Если разрезать отрезок в красной точке, то одна часть будет на 30 см длиннее другой.
Если же разрезать отрезок в синей точке, то одна из частей будет на 50 см длиннее другой.
Найдите расстояние между красной и синей точками.

8.  Шерлок Холмс и доктор Ватсон пришли к часовщику.
На вопрос «Сколько времени?» часовщик сказал:
— Одни спешат на час, другие отстают на час, двое сломаны и не ходят, только одни из пяти показывают правильное время.
— Этих сведений недостаточно, — ответил Ватсон.
— Приходите завтра пораньше, к четырём часам, я в это время пью чай. А сколько сейчас времени, Холмс уже знает.

Какие часы показывали правильное время?

9. Из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами длины 13 (то есть из половины квадрата со стороной 13) легко вырезать 15 равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами длины 2, ориентированных, как показано на рисунке.
Сумейте вырезать из него не 15, а 19 таким же образом ориентированных треугольников с катетами длины 2.

10.
A
) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на три конгруэнтные части.
Б) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую ровно одну ось симметрии.
В) Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две конгруэнтные части и сложите из них фигуру, имеющую две оси симметрии.